Guru-Host.ru - бесплатный и платный хостинг с поддержкой PHP и MySQL.
При переходе на платный тариф реклама снимается.

Теория : Вектора

Алгебраический подход

В линейной алгебре вектор - это элемент векторного пространства (или иначе: линейного пространства). Векторы можно складывать и умножать на число. Вектор также можно представить в виде линейной комбинации других векторов. Базис - это линейно независимая совокупность векторов, которая порождает все пространство. В конечномерном пространстве существует конечный базис, и тогда любой вектор пространства может быть единственным образом представлен в виде разложения вида
a=∑aiei
где ei - это базис, а ai - координаты вектора в заданном базисе.

Геометрический подход

Понятие вектор в геометрии отлично от определяемого в алгебре. Различают понятие свободного и связанного (приложенного, закрепленного) вектора.
Связанный вектор или направленный отрезок - упорядоченная пара точек евклидова пространства.
Свободный вектор - класс эквивалентности направленных отрезков.

При этом два направленных отрезка считаются эквивалентными, если они:

  • коллинеарны
  • равны по длине
  • одинаково направлены (сонаправлены)

Существует естественный изоморфизм свободных векторов и параллельных переносов пространства (каждый перенос взаимно однозначно соответствует какому-то свободному вектору). На этом также строят геометрическое определение свободного вектора, просто отождествляя его с соответственным переносом.

Вектор, начало которого совпадает с его концом, называют нулевым: AA = 0
Вектор BA называют противоположным вектору AB.
Длиной вектора, или модулем вектора, называют длину соответствующего направленного отрезка. Модуль вектора равен корню из суммы квадратов его координат: |a|=(∑ai2)1/2.

Свойства векторов

Векторы являются ортогональными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Часто вместо этого термина употребляют термин "перпендикулярность", однако следует учитывать, что нулевой вектор ортогонален любому вектору, но понятие перпендекулярности для него не определено, поскольку не определен угол между нулевым и другим вектором.

Векторы являются коллинеарными тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю. Часто вместо этого термина употребляют термин "параллельность", однако следует учитывать, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору, но понятие параллельности для него не определено, поскольку не определен угол между нулевым и другим вектором.

Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости. Смешанное произведение трех компланарных векторов равно 0.

Сложение и вычитание векторов

Сложение двух свободных векторов можно осуществлять как по правилу параллелограмма, так и по правилу треугольника.
Правило треугольника. Для сложения двух векторов и по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задается третьей стороной образовавшегося треугольника, причем его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.
Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов и по правилу параллелограмма оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задается диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.
Для нахождения координат суммы двух векторов необходимо сложить соответствующие координаты этих векторов: a + b={ai + bi}
Для нахождения координат разности двух векторов необходимо найти разность соответствующих координат этих векторов: a - b={ai - bi}

Скалярное произведение

Скалярным произведением векторов a и b называют число, равное a · b = |a| · |b| · cos α, где α - угол между векторами. Если один из векторов является нулевым, то несмотря на то, что угол не определен, произведение равно нулю.
Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов: a · b=∑(ai · bi)

Векторное произведение

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, удовлетворяющий следующим требованиям:

  • длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла между ними: a x b = |a| · |b| · sin α
  • вектор c ортогонален каждому из векторов a и b
  • вектор c направлен так, что тройка векторов abc является правой
Геометрически векторное произведение есть ориентированная площадь параллелограмма, построенного на векторах a, b, представленная псевдовектором, ортогональным этому параллелограмму.

Смешанное произведение

Смешанное произведение векторов - скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c. Иногда смешанное произведение называют тройным скалярным произведением векторов.
Смешанное произведение векторов равно определителю, строками которого являются координаты этих векторов.
Геометрически смешанное произведение есть (ориентированный) объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c.

Разложение вектора по базису

Пусть a – произвольный вектор, {e1, e2, ... en} – произвольная система векторов. Если выполняется равенство
a = α1e1 + α2e2 + ... + αnen ,
то говорят, что вектор a представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов. Если данная система векторов является базисом векторного пространства, то равенство называется разложением вектора a по базису {e1, e2, ... en}. Коэффициенты линейной комбинации α1, α2 ... αn называются в этом случае координатами вектора a относительно базиса {e1, e2, ... en}.